与えられた関数 $f(x) = x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$ をマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^4 \cos(2x)(3 - 4\cos^2(2x))$ をマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を簡単にします。

$3 - 4\cos^2(2x) = 3 - 2(1+\cos(4x)) = 3 - 2 - 2\cos(4x) = 1 - 2\cos(4x)$

よって、$f(x) = x^4 \cos(2x) (1 - 2\cos(4x))$ となります。

$f(x) = x^4(\cos(2x) - 2\cos(2x)\cos(4x))$

ここで、積和の公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を用いると、

$2\cos(2x)\cos(4x) = \cos(6x) + \cos(-2x) = \cos(6x) + \cos(2x)$

よって、$f(x) = x^4(\cos(2x) - (\cos(6x) + \cos(2x))) = x^4(-\cos(6x))$

$f(x) = -x^4 \cos(6x)$

次に、$\cos x$ のマクローリン展開が $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ であることを利用します。

$\cos(6x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^{2n} x^{2n}}{(2n)!}$

したがって、$f(x) = -x^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$

$= -x^4 + \frac{36}{2}x^6 - \frac{6^4}{4!}x^8 + \frac{6^6}{6!}x^{10} - ...$

$= -x^4 + 18x^6 - 324x^8 + 3240x^{10} - ...$

マクローリン展開は

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 6^{2n} x^{2n+4}}{(2n)!}$

または

$-x^4 + 18x^6 - 324x^8 + 3240x^{10} - ...$

と記述できます。