与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、以下の式を因数分解します。 (1) $(x-4)(3x+1) + 10$ (3) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (5) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ (7) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (9) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (10) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、以下の式を因数分解します。

(1) $(x-4)(3x+1) + 10$

(3) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(5) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

(7) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(9) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(10) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

2. 解き方の手順

(1) $(x-4)(3x+1) + 10$

まず、式を展開します。

$3x^2 + x - 12x - 4 + 10 = 3x^2 - 11x + 6$

次に、因数分解します。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3)$

(3) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

項を並び替えて、共通因数でくくります。

$ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2 = x^2(a-b) - y^2(a-b)$

$(a-b)(x^2 - y^2) = (a-b)(x+y)(x-y)$

(5) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

$x^2 - x = A$ とおきます。

$A^2 - 8A + 12 = (A-2)(A-6)$

$A$ を元に戻します。

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$

$(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$

(7) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y-1)^2$

$(2x)^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1))$

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(9) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

$(3x - y)(x + y) + 7x + 3y + 4$

$(3x-y+a)(x+y+b) = 3x^2 + 2xy - y^2 + (3b+a)x + (a-b)y + ab$

$3b+a = 7$

$a-b = 3$

$a = b+3$

$3b + b + 3 = 7$

$4b = 4$

$b = 1$

$a = 4$

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(10) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

展開すると、

$a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 - abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x - 2)(x - 3)$

(3) $(a-b)(x+y)(x-y)$

(5) $(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$

(7) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(9) $(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(10) $(a+b)(b+c)(c+a)$