(1) 不等式 $\frac{x}{2} + 4 < \frac{2x+7}{3}$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。 (2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が4であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $\frac{x}{2} + 4 < \frac{2x+7}{3}$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。

(2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が4であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\frac{x}{2} + 4 < \frac{2x+7}{3}$ を解きます。両辺に6をかけて分母を払います。

$3x + 24 < 4x + 14$

$3x - 4x < 14 - 24$

$-x < -10$

$x > 10$

したがって、この不等式を満たす最小の整数は11です。

(2) 不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を解きます。

$2x + a > 5x - 5$

$a + 5 > 3x$

$x < \frac{a+5}{3}$

この不等式を満たす最大の整数が4であるということから、

$4 < \frac{a+5}{3} \leq 5$

が成り立ちます。

各辺を3倍して

$12 < a+5 \leq 15$

各辺から5を引いて

$7 < a \leq 10$

3. 最終的な答え

(1) 11

(2) $7 < a \leq 10$