与えられた等式 $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$ が任意の $x$ に対して成り立つように、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$ が任意の $x$ に対して成り立つように、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開し、左辺と比較することで、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。

まず、右辺を展開します。

$(x+1)(x^2 + bx + c) + 1 = x^3 + bx^2 + cx + x^2 + bx + c + 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + (c+1)$

したがって、与えられた等式は

$x^3 - ax - 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + (c+1)$

となります。

この等式が任意の $x$ に対して成り立つためには、両辺の各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$x^2$ の係数: $0 = b+1$

$x$ の係数: $-a = c+b$

定数項: $-1 = c+1$

これらの式から、$b$, $c$, $a$ の値を順番に求めることができます。

$b+1 = 0$ より、

$b = -1$

$c+1 = -1$ より、

$c = -2$

$-a = c+b$ より、

$-a = -2 + (-1) = -3$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -1$, $c = -2$