放物線の式を求める問題です。 (1) 頂点が(1, 4) で、点 (-2, -5) を通る放物線の式を求める。 (2) 3点 (1, 6), (-1, 0), (-2, 3) を通る放物線の式を求める。

1. 問題の内容

放物線の式を求める問題です。

(1) 頂点が(1, 4) で、点 (-2, -5) を通る放物線の式を求める。

(2) 3点 (1, 6), (-1, 0), (-2, 3) を通る放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が(1, 4) であることから、放物線の式は

$y = a(x-1)^2 + 4$

と表せる。

この放物線が点 (-2, -5) を通るので、x = -2, y = -5 を代入してaを求める。

$-5 = a(-2-1)^2 + 4$

$-5 = a(-3)^2 + 4$

$-5 = 9a + 4$

$9a = -9$

$a = -1$

よって、放物線の式は

$y = -(x-1)^2 + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 4$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 4$

$y = -x^2 + 2x + 3$

(2)

3点 (1, 6), (-1, 0), (-2, 3) を通る放物線の式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

それぞれの点を代入すると、

(1, 6): $6 = a + b + c$

(-1, 0): $0 = a - b + c$

(-2, 3): $3 = 4a - 2b + c$

これらの式からa, b, cを求める。

$6 = a + b + c$ と $0 = a - b + c$ から

$6 - 0 = (a+b+c) - (a-b+c)$

$6 = 2b$

$b = 3$

$6 = a + 3 + c$ より $a + c = 3$

$0 = a - 3 + c$ より $a + c = 3$

$3 = 4a - 2(3) + c$

$3 = 4a - 6 + c$

$4a + c = 9$

$4a + c = 9$ と $a + c = 3$ から

$3a = 6$

$a = 2$

$a + c = 3$ より $2 + c = 3$

$c = 1$

よって、放物線の式は

$y = 2x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x + 3$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 1$