ベクトル $\vec{a} = (-1, 0, 1)$ と $\vec{b} = (3, -2, 1)$ が与えられています。$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ で表してください。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$t$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 0, 1)$ と $\vec{b} = (3, -2, 1)$ が与えられています。$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ で表してください。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$t$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\vec{c}$ を計算します。

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (-1, 0, 1) + t(3, -2, 1) = (-1 + 3t, -2t, 1 + t)$

次に、内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (-1)(-1 + 3t) + (0)(-2t) + (1)(1 + t) = 1 - 3t + 0 + 1 + t = 2 - 2t$

(2)

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が $60^\circ$ であることから、内積の定義より以下の式が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos{60^\circ}$

ここで、

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$

なので、

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \sqrt{2} |\vec{c}| \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} |\vec{c}|$

(1)の結果から $\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 - 2t$ であるので、

$2 - 2t = \frac{\sqrt{2}}{2} |\vec{c}|$

両辺を2乗して

$(2 - 2t)^2 = \frac{1}{2} |\vec{c}|^2$

$4 - 8t + 4t^2 = \frac{1}{2} [(-1 + 3t)^2 + (-2t)^2 + (1 + t)^2]$

$8 - 16t + 8t^2 = (1 - 6t + 9t^2) + 4t^2 + (1 + 2t + t^2)$

$8 - 16t + 8t^2 = 2 - 4t + 14t^2$

$0 = 6t^2 + 12t - 6$

$0 = t^2 + 2t - 1$

これを解くと

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$t = -1 + \sqrt{2}$と$t = -1 - \sqrt{2}$を$\vec{c}$に代入して$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos{60^\circ}$を満たすか確認する．

$2 - 2t = 2 - 2(-1\pm\sqrt{2})=4\mp 2\sqrt{2}$

$t = -1+\sqrt{2}$のとき，$\vec{c}=(4-3\sqrt{2},2-2\sqrt{2},\sqrt{2})$

$|\vec{c}| = \sqrt{(4-3\sqrt{2})^2+(2-2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{16-24\sqrt{2}+18+4-8\sqrt{2}+8+2} = \sqrt{48-32\sqrt{2}} = 4\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

$\sqrt{2} \times \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3-2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\sqrt{3-2\sqrt{2}}=2\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

$4-2\sqrt{2}=2\sqrt{4-4\sqrt{2}+2}=2\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

$t = -1-\sqrt{2}$のとき，$\vec{c}=(4+3\sqrt{2},2+2\sqrt{2},-\sqrt{2})$

$|\vec{c}| = \sqrt{(4+3\sqrt{2})^2+(2+2\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2} = \sqrt{16+24\sqrt{2}+18+4+8\sqrt{2}+8+2} = \sqrt{48+32\sqrt{2}} = 4\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

$\sqrt{2} \times \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\sqrt{3+2\sqrt{2}}=2\sqrt{6+4\sqrt{2}}$

$4+2\sqrt{2}=2\sqrt{4+4\sqrt{2}+2}=2\sqrt{6+4\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 - 2t$

(2) $t = -1 \pm \sqrt{2}$