複素数 $z$ が条件「$iz^2$ は実数であり、$0 \le iz^2 \le 2$」を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $iz^2 = 2$ を満たす複素数 $z$ をすべて求める。 (2) $0 < iz^2 \le 2$ を満たす複素数 $z$ の偏角 $\theta$ をすべて求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。 (3) 条件を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $S$ とする。集合 $S$ を複素数平面上に図示する。 (4) 複素数 $z$ が (3) の $S$ を動くとき、$\frac{z}{z+2}$ の実部の最小値を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が条件「$iz^2$ は実数であり、$0 \le iz^2 \le 2$」を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $iz^2 = 2$ を満たす複素数 $z$ をすべて求める。

(2) $0 < iz^2 \le 2$ を満たす複素数 $z$ の偏角 $\theta$ をすべて求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

(3) 条件を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $S$ とする。集合 $S$ を複素数平面上に図示する。

(4) 複素数 $z$ が (3) の $S$ を動くとき、$\frac{z}{z+2}$ の実部の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $iz^2 = 2$ のとき、$z^2 = \frac{2}{i} = -2i$ である。

$z = x+iy$ とおくと、$z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = -2i$。

したがって、$x^2 - y^2 = 0$ かつ $2xy = -2$。

$x^2 = y^2$ より、$y = \pm x$。$2xy = -2$ より、$xy = -1$ であるから、$y = -x$。

$x(-x) = -1$ より、$x^2 = 1$。よって、$x = \pm 1$。

$x = 1$ のとき、$y = -1$。$x = -1$ のとき、$y = 1$。

したがって、$z = 1-i$ または $z = -1+i$。

(2) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおく。

$z^2 = r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)$。

$iz^2 = r^2 (-\sin 2\theta + i \cos 2\theta)$。

$iz^2$ が実数であるから、$\cos 2\theta = 0$。

$2\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (n は整数) より、$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

$0 < iz^2 \le 2$ より、$0 < -r^2 \sin 2\theta \le 2$。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin 2\theta = 1$ より、$-r^2 \le 2$。よって $r^2 \ge -2$ (常に成立) より、$r > 0$。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\sin 2\theta = -1$ より、$r^2 \le 2$。よって $0 < r \le \sqrt{2}$。

$\theta = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$\sin 2\theta = 1$ より、$-r^2 \le 2$。よって $r > 0$。

$\theta = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$\sin 2\theta = -1$ より、$r^2 \le 2$。よって $0 < r \le \sqrt{2}$。

$\cos 2\theta=0$なので、$iz^2 = -r^2\sin 2\theta$.

従って、$iz^2$が実数かつ$0<iz^2\le 2$となるための条件は、$r>0$かつ$\sin 2\theta<0$かつ$-r^2\sin 2\theta\le 2$である。$\sin 2\theta<0$なので、$2\theta$は第3象限または第4象限の角である。よって、$\pi<2\theta<2\pi$ または $3\pi<2\theta<4\pi$である。従って、$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ または $\frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$となる。

条件より$\theta$は$\frac{3\pi}{4}$もしくは$\frac{7\pi}{4}$である。

$r = \sqrt{2}$の時に$iz^2 = 2$を満たすので$r \le \sqrt{2}$。よって$\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(3) (2)の結果から、偏角が$\frac{3\pi}{4}$と$\frac{7\pi}{4}$の直線で、原点を含まず、原点からの距離が$\sqrt{2}$までの線分。

(4) $w = \frac{z}{z+2}$ とおく。$w(z+2) = z$ より、$wz + 2w = z$。よって、$z(w-1) = -2w$。

$z = \frac{-2w}{w-1} = \frac{-2(x+iy)}{x-1+iy} = \frac{-2(x+iy)(x-1-iy)}{(x-1)^2+y^2} = \frac{-2[x(x-1)+y^2 + i(y(x-1)-xy)]}{(x-1)^2+y^2} = \frac{-2[x^2-x+y^2 - iy]}{(x-1)^2+y^2}$。

$z$ は (3) の集合上にあるので、$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ で、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4}$。

$\frac{z}{z+2}$ の実部を $u$ とすると、$u = \frac{x(x-1)+y^2}{(x-1)^2+y^2}$。$z = x+iy$ なので、$x = r\cos\theta$ と $y=r\sin\theta$。

$z = x+iy = re^{i\theta}$。$z = x+iy = r(\cos \theta + i \sin \theta)$。

$w = \frac{z}{z+2} = \frac{x+iy}{x+2+iy} = \frac{(x+iy)(x+2-iy)}{(x+2)^2+y^2} = \frac{x(x+2)+y^2 + i(y(x+2)-xy)}{(x+2)^2+y^2} = \frac{x^2+2x+y^2 + 2iy}{(x+2)^2+y^2}$。

$Re(w) = \frac{x^2+2x+y^2}{(x+2)^2+y^2}$。

$x = r\cos \theta$、$y = r\sin \theta$。

$\theta = \frac{3\pi}{4}, x = -\frac{r}{\sqrt{2}}, y = \frac{r}{\sqrt{2}}$。$0 \le r \le \sqrt{2}$。

$\theta = \frac{7\pi}{4}, x = \frac{r}{\sqrt{2}}, y = -\frac{r}{\sqrt{2}}$。$0 \le r \le \sqrt{2}$。

$Re(w) = \frac{r^2+2r\cos\theta}{r^2+4r\cos\theta+4}$。

$Re(w) = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{3\sqrt{2} -2}$

最小値は0

3. 最終的な答え

(1) $z = 1-i, -1+i$

(2) $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(3) 図は省略

(4) 0