与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。$n \ge 1$ であり、以下の5つの関数に対してそれぞれ $n$ 階導関数を求めます。 1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4}$ 2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x+\frac{\pi}{36}) - 1)$ 3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$ 4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$ 5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。$n \ge 1$ であり、以下の5つの関数に対してそれぞれ $n$ 階導関数を求めます。

1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4}$

2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x+\frac{\pi}{36}) - 1)$

3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について $n$ 階導関数を求めます。

1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4}$

これは $(1+3x)^{-4}$ の定数倍なので、微分を繰り返すと $(1+3x)^{-4-n}$ の形になることが予想できます。

$g(x) = (1+3x)^{-4}$ とすると、

$g'(x) = -4(1+3x)^{-5} \cdot 3 = -12(1+3x)^{-5}$

$g''(x) = (-12)(-5)(1+3x)^{-6} \cdot 3 = 180(1+3x)^{-6}$

$g'''(x) = (180)(-6)(1+3x)^{-7} \cdot 3 = -3240(1+3x)^{-7}$

一般的に、

$g^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{(n+3)!}{3!} 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

よって、

$f^{(n)}(x) = 3^3 g^{(n)}(x) = 27 (-1)^n \frac{(n+3)!}{6} 3^n (1+3x)^{-(n+4)} = (-1)^n \frac{9 (n+3)!}{2} 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x+\frac{\pi}{36}) - 1) = e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18})$

$f'(x) = -2e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18}) - 2e^{-2x}\sin(2x+\frac{\pi}{18}) = 2e^{-2x}(-\cos(2x+\frac{\pi}{18}) - \sin(2x+\frac{\pi}{18}))$

$f(x) = e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18})$の$n$階微分は、$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-2x}\cos(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2})$ となる。

3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x = x^2 e^{x \ln 4}$

$f'(x) = 2x \cdot 4^x + x^2 \cdot 4^x \ln 4 = 4^x (x^2 \ln 4 + 2x)$

$f''(x) = 4^x \ln 4 (x^2 \ln 4 + 2x) + 4^x (2x \ln 4 + 2) = 4^x (x^2 (\ln 4)^2 + 4x \ln 4 + 2)$

一般にLeibnizの公式を使うと、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (4^x)^{(n-k)}$

$(x^2)^{(0)} = x^2$, $(x^2)^{(1)} = 2x$, $(x^2)^{(2)} = 2$, $(x^2)^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$(4^x)^{(n)} = (\ln 4)^n 4^x$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} x^2 (\ln 4)^n 4^x + \binom{n}{1} 2x (\ln 4)^{n-1} 4^x + \binom{n}{2} 2 (\ln 4)^{n-2} 4^x = 4^x [ x^2 (\ln 4)^n + 2nx (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} ]$

4) $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x) = 8 \sin^2 x \cos^2 x = 2 (2\sin x \cos x)^2 = 2 (\sin 2x)^2 = 2 (\frac{1 - \cos 4x}{2}) = 1 - \cos 4x$

$f'(x) = 4 \sin 4x$

$f''(x) = 16 \cos 4x$

$f'''(x) = -64 \sin 4x$

$f^{(n)}(x) = -4^n \cos(4x + n\frac{\pi}{2})$ (for $n \geq 1$)

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

部分分数分解します。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$: $12 = A(1)(2)(3) \Rightarrow A = 2$

$x = -2$: $12 = B(-1)(1)(2) \Rightarrow B = -6$

$x = -3$: $12 = C(-2)(-1)(1) \Rightarrow C = 6$

$x = -4$: $12 = D(-3)(-2)(-1) \Rightarrow D = -2$

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$\frac{d^n}{dx^n} \frac{1}{x+a} = (-1)^n \frac{n!}{(x+a)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2(-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}} - 6(-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}} + 6(-1)^n \frac{n!}{(x+3)^{n+1}} - 2(-1)^n \frac{n!}{(x+4)^{n+1}} = (-1)^n n! [ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} ]$

3. 最終的な答え

1) $f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{9(n+3)!}{2} 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

2) $f^{(n)}(x) = 2^n e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18} + n\frac{\pi}{2})$

3) $f^{(n)}(x) = 4^x [ x^2 (\ln 4)^n + 2nx (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} ]$

4) $f^{(n)}(x) = -4^n \cos(4x + n\frac{\pi}{2})$

5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} ]$