次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求める問題です。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ (2) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} + \dots$

1. 問題の内容

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求める問題です。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} + \dots$

2. 解き方の手順

(1)

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$1 = (2A+2B)n + (A-B)$

$2A+2B=0$, $A-B=1$

$A=-B$を$A-B=1$に代入して$A-(-A)=1$となり、$2A=1$なので、$A=\frac{1}{2}$、$B=-\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

第n項までの部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

$S_n = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1})$

$n \to \infty$ の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$

したがって、この無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ です。

(2)

分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(2n+1) - (2n-1)} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

第n項までの部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

$S_n = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$

$n \to \infty$ の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1) = \infty$

したがって、この無限級数は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{2}$

(2) 発散する