数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題に答えます。 (1) 6の倍数のうち、正のものを小さい順に並べてできる数列 $\{a_n\}$ の初項から第5項までと、一般項を求めます。 (2) 正の奇数の平方を小さいものから順に並べてできる数列 $\{a_n\}$ の初項から第5項までと、一般項を求めます。 また、数列の初項から第5項までと、第10項を求める問題もあります。 (1) $\{50 - 5n\}$ (2) $\{2^{n-1}\}$ (3) $\{(-1)^{n-1}\}$ (4) $\{1 + \frac{1}{n}\}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題に答えます。

(1) 6の倍数のうち、正のものを小さい順に並べてできる数列 $\{a_n\}$ の初項から第5項までと、一般項を求めます。

(2) 正の奇数の平方を小さいものから順に並べてできる数列 $\{a_n\}$ の初項から第5項までと、一般項を求めます。

また、数列の初項から第5項までと、第10項を求める問題もあります。

(1) $\{50 - 5n\}$

(2) $\{2^{n-1}\}$

(3) $\{(-1)^{n-1}\}$

(4) $\{1 + \frac{1}{n}\}$

2. 解き方の手順

3. (1) 6の倍数のうち、正のものを小さい順に並べると、6, 12, 18, 24, 30, ... となります。よって、初項から第5項までは 6, 12, 18, 24, 30 です。一般項は $a_n = 6n$ となります。

4. (2) 正の奇数の平方を小さい順に並べると、 $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, 9^2, ...$ すなわち 1, 9, 25, 49, 81, ... となります。よって、初項から第5項までは 1, 9, 25, 49, 81 です。一般項は $a_n = (2n-1)^2$ となります。

5. (1) $a_n = 50 - 5n$

初項から第5項は、

$a_1 = 50 - 5(1) = 45$

$a_2 = 50 - 5(2) = 40$

$a_3 = 50 - 5(3) = 35$

$a_4 = 50 - 5(4) = 30$

$a_5 = 50 - 5(5) = 25$

第10項は、

$a_{10} = 50 - 5(10) = 0$

6. (2) $a_n = 2^{n-1}$

初項から第5項は、

$a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$

$a_2 = 2^{2-1} = 2^1 = 2$

$a_3 = 2^{3-1} = 2^2 = 4$

$a_4 = 2^{4-1} = 2^3 = 8$

$a_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16$

第10項は、

$a_{10} = 2^{10-1} = 2^9 = 512$

7. (3) $a_n = (-1)^{n-1}$

初項から第5項は、

$a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$

$a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$

$a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$

$a_4 = (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$

$a_5 = (-1)^{5-1} = (-1)^4 = 1$

第10項は、

$a_{10} = (-1)^{10-1} = (-1)^9 = -1$

8. (4) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$

初項から第5項は、

$a_1 = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$a_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$a_3 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$a_4 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$a_5 = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

第10項は、

$a_{10} = 1 + \frac{1}{10} = \frac{11}{10}$

9. 最終的な答え

3.(1) 初項から第5項：6, 12, 18, 24, 30。一般項：$a_n = 6n$

3.(2) 初項から第5項：1, 9, 25, 49, 81。一般項：$a_n = (2n-1)^2$

4.(1) 初項から第5項：45, 40, 35, 30, 25。第10項：0

4.(2) 初項から第5項：1, 2, 4, 8, 16。第10項：512

4.(3) 初項から第5項：1, -1, 1, -1, 1。第10項：-1

4.(4) 初項から第5項：2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5。第10項：11/10