(1) 9の平方根に関する記述の正誤を判断する。 (2) $a$ が実数のとき、 $\sqrt{a^4 - 2a^2 + 1}$ と $\sqrt{a^4 + 2a^2 + 1}$ の計算過程における誤りを見つける。

1. 問題の内容

(1) 9の平方根に関する記述の正誤を判断する。

(2) $a$ が実数のとき、 $\sqrt{a^4 - 2a^2 + 1}$ と $\sqrt{a^4 + 2a^2 + 1}$ の計算過程における誤りを見つける。

2. 解き方の手順

(1)

1. 「9の平方根は±3である」: 平方根は正と負の両方を持つため正しい。

2. 「9の平方根は3である」: 9の平方根は3と-3であるため、記述は不正確。

3. 「$\sqrt{9} = \pm 3$である」: $\sqrt{9}$ は 9 の正の平方根を表すため、3 に等しい。 よって間違い。

4. 「$\sqrt{9} = 3$である」: 正の平方根のみを示すため正しい。

(2)

1. $\sqrt{a^4 - 2a^2 + 1}$の計算:

$\sqrt{a^4 - 2a^2 + 1} = \sqrt{(a^2 - 1)^2} = |a^2 - 1|$

$a^2 - 1$ となるのは、$a^2 - 1 \geq 0$ のときのみ。一般的には $|a^2 - 1|$ となるため、①の変形は $a^2-1 \geq 0$ のときに成り立つ。正しくない式変形の場合、$|a^2-1|$の絶対値を外す際に、$a^2-1 < 0$のときに符号を考慮していない場合がある。

2. $\sqrt{a^4 + 2a^2 + 1}$の計算:

$\sqrt{a^4 + 2a^2 + 1} = \sqrt{(a^2 + 1)^2} = |a^2 + 1|$

$a$ は実数なので、$a^2 \geq 0$ より、$a^2 + 1 \geq 1$ となり、常に正である。

したがって、$|a^2 + 1| = a^2 + 1$ となるため、④の変形は正しい。

最終的な答えは $|a^2-1|$ と $a^2-1$ が等しくならない場合に①の変形は誤りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 正しいもの：①, ④

(2) 正しくない式変形：①