与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+1)(x+y-1)$ と $(x-y+1)(x-y-1)$ をそれぞれ計算します。

$(x+y+1)(x+y-1)$ について、 $x+y = A$ とおくと、

$(A+1)(A-1) = A^2 - 1$ となります。

よって、

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

$(x-y+1)(x-y-1)$ について、$x-y = B$ とおくと、

$(B+1)(B-1) = B^2 - 1$ となります。

よって、

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

したがって、元の式は次のようになります。

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1)$

ここで、 $x^2+y^2-1 = C$ とおくと、

$(C+2xy)(C-2xy) = C^2 - (2xy)^2 = C^2 - 4x^2y^2$

よって、

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1) = (x^2 + y^2 - 1)^2 - 4x^2y^2$

$(x^2+y^2-1)^2 = (x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

したがって、

$(x^2 + y^2 - 1)^2 - 4x^2y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2$ なので、

$(x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 = (x^2-y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1$