与えられた式 $(x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2$ を展開し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2$ を展開し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2 + y^2 - 1)^2$ を展開します。

$(x^2 + y^2 - 1)^2 = (x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 1)$

$= x^4 + x^2y^2 - x^2 + x^2y^2 + y^4 - y^2 - x^2 - y^2 + 1$

$= x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

次に、$(2xy)^2$ を計算します。

$(2xy)^2 = 4x^2y^2$

したがって、与えられた式は、

$(x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2 = (x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1) - 4x^2y^2$

$= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

ここで、$x^4 + y^4 - 2x^2y^2$ は $(x^2 - y^2)^2$ と書き換えることができます。

よって、式は $(x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$ となります。

さらに、$x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2$ なので、

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 = (x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$

また、

$(x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1 = (x^2 - y^2 + 1)^2 - 4x^2$

と変形できます。

$(x^2 - y^2 - 1)^2 - 4y^2$とも変形できる

元の形に戻す

$= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$