A, B, C, D, Eの5人がそれぞれ自分の名刺を1枚ずつ持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5人がそれぞれ自分の名刺を1枚ずつ持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、5人の中から自分の名刺を取る1人を選ぶ。これは$_5C_1$通りある。

残りの4人は誰も自分の名刺を取らないようにする必要がある。これは完全順列（または攪乱順列）の問題になる。4人の完全順列の数を$D_4$とすると、

$D_4 = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})$

$D_4 = 24 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24})$

$D_4 = 24 (\frac{12 - 4 + 1}{24})$

$D_4 = 9$

または、漸化式を用いて計算することもできる。

$D_1 = 0$

$D_2 = 1$

$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$

$D_3 = (3-1)(D_2 + D_1) = 2(1+0) = 2$

$D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2+1) = 9$

したがって、求める場合の数は $_5C_1 \times D_4 = 5 \times 9 = 45$通りである。

3. 最終的な答え

45通り