関数 $f(x) = x^3 + ax^2$ が極値を持つとき、定数 $a$ が満たすべき条件を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2$ が極値を持つとき、定数 $a$ が満たすべき条件を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在し、その前後で $f'(x)$ の符号が変わる必要がある。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 2ax = 0$

$x(3x + 2a) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = -\frac{2a}{3}$ となる。

$x=0$と$x=-\frac{2a}{3}$が異なるとき、$f(x)$は極値を持つ。

$0 \neq -\frac{2a}{3}$

$a \neq 0$

$a = 0$のとき、$f'(x) = 3x^2$ となり、$x=0$で$f'(x)=0$となるものの、符号が変化しないため、$f(x)$は極値を持たない。

3. 最終的な答え

$a \neq 0$