関数 $y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2$ の $-3 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2$ の $-3 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2 \\

&= 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2 \\

&= 3(x-a)^2 + 2

\end{align*}

これは下に凸の放物線であり、軸は $x=a$ です。定義域は $-3 \le x \le 2$ です。軸の位置によって最小値を取る $x$ の値が変わるので、場合分けを行います。

(1) $a < -3$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の左側にあるので、$x=-3$ で最小値を取ります。

$x = -3$ を代入すると、

\begin{align*}

y &= 3(-3)^2 - 6a(-3) + 3a^2 + 2 \\

&= 27 + 18a + 3a^2 + 2 \\

&= 3a^2 + 18a + 29

\end{align*}

(2) $-3 \le a \le 2$ のとき

軸 $x=a$ が定義域内にあるので、$x=a$ で最小値を取ります。

$x = a$ を代入すると、

\begin{align*}

y &= 3(a)^2 - 6a(a) + 3a^2 + 2 \\

&= 3a^2 - 6a^2 + 3a^2 + 2 \\

&= 2

\end{align*}

(3) $2 < a$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の右側にあるので、$x=2$ で最小値を取ります。

$x = 2$ を代入すると、

\begin{align*}

y &= 3(2)^2 - 6a(2) + 3a^2 + 2 \\

&= 12 - 12a + 3a^2 + 2 \\

&= 3a^2 - 12a + 14

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $a < -3$ のとき、$x=-3$ で最小値 $3a^2 + 18a + 29$

(2) $-3 \le a \le 2$ のとき、$x=a$ で最小値 $2$

(3) $2 < a$ のとき、$x=2$ で最小値 $3a^2 - 12a + 14$