実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - a \log x$ の極値の個数を、$a$ の値に応じて求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - a \log x$ の極値の個数を、$a$ の値に応じて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の定義域は $x>0$ である。

極値を求めるために、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 - \frac{a}{x} = 3(x^2 - 2x + 1) - \frac{a}{x} = 3(x-1)^2 - \frac{a}{x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の個数が、$f(x)$ の極値の個数である。

$3(x-1)^2 = \frac{a}{x}$ を変形する。

$3x(x-1)^2 = a$

$g(x) = 3x(x-1)^2$ とおくと、$g(x) = 3x(x^2 - 2x + 1) = 3x^3 - 6x^2 + 3x$

$g'(x) = 9x^2 - 12x + 3 = 3(3x^2 - 4x + 1) = 3(3x-1)(x-1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ または $x = \frac{1}{3}$

$x>0$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

| x | (0) | ... | 1/3 | ... | 1 | ... | ∞ |

| :----- | :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :-- | :-- |

| g'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |

| g(x) | | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ | |

$g(1/3) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3} - 1)^2 = 1 \cdot (\frac{-2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

$g(1) = 3 \cdot 1 \cdot (1-1)^2 = 0$

$g(x)$ のグラフの概形を考えると、$a$ の値によって、$g(x) = a$ の解の個数が変わる。

$a < 0$ のとき、解は 0 個

$a = 0$ のとき、解は 1 個 ($x = 1$)

$0 < a < \frac{4}{9}$ のとき、解は 3 個

$a = \frac{4}{9}$ のとき、解は 2 個 ($x = 1/3, x=\alpha$)

$a > \frac{4}{9}$ のとき、解は 1 個

極値の個数は、$f'(x) = 0$ の解の個数に等しい。

$f'(x) = 0$ の解の個数は、$g(x) = a$ の解の個数に等しい。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、極値の個数は 0個

$a = 0$ のとき、極値の個数は 1個

$0 < a < \frac{4}{9}$ のとき、極値の個数は 3個

$a = \frac{4}{9}$ のとき、極値の個数は 2個

$a > \frac{4}{9}$ のとき、極値の個数は 1個