$\int_a^x f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\int_a^x f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分区間の下端である $a$ を見つけます。

$x = a$ のとき、左辺は $\int_a^a f(t) dt = 0$ となります。したがって、右辺も0になるはずです。

よって、

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

次に、$f(x)$ を求めます。

$\int_a^x f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ の両辺を $x$ で微分します。積分の微分の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^2 - 3x - 4) = 2x - 3$

したがって、$f(x) = 2x - 3$ となります。

最後に、求めた $f(x)$ を元の式に代入して $a$ を確認します。

$\int_a^x (2t - 3) dt = [t^2 - 3t]_a^x = (x^2 - 3x) - (a^2 - 3a)$

これが $x^2 - 3x - 4$ に等しいので、

$x^2 - 3x - (a^2 - 3a) = x^2 - 3x - 4$

$a^2 - 3a = 4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4$ または $a = -1$

$a=4$のとき：

$\int_4^x (2t-3)dt = [t^2-3t]^x_4 = (x^2-3x) - (4^2-3(4)) = x^2-3x - (16-12) = x^2 - 3x - 4$

$a=-1$のとき：

$\int_{-1}^x (2t-3)dt = [t^2-3t]^x_{-1} = (x^2-3x) - ((-1)^2-3(-1)) = x^2-3x - (1+3) = x^2 - 3x - 4$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x - 3$

$a = 4$ または $a = -1$