次の2つの問題について、曲線と直線、およびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。 (1) $y = x^2 - 3x - 4$ (2) $y = -x^2 + 2x$ ($x \leq 1$), $x = -1$, $x = 1$

1. 問題の内容

次の2つの問題について、曲線と直線、およびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。

(1) $y = x^2 - 3x - 4$

(2) $y = -x^2 + 2x$ ($x \leq 1$), $x = -1$, $x = 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 3x - 4$ と $y = 0$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x - 4 = 0$ を解くと、$(x - 4)(x + 1) = 0$ となるので、$x = -1, 4$ です。

$x$軸と曲線で囲まれた範囲は $-1 \leq x \leq 4$ です。この範囲で $y$ は負の値を取るので、面積は定積分の絶対値を取る必要があります。

よって、面積 $S$ は、

$S = \left| \int_{-1}^{4} (x^2 - 3x - 4) dx \right|$

$S = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x \right]_{-1}^{4} \right|$

$S = \left| \left( \frac{64}{3} - \frac{48}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) \right|$

$S = \left| \frac{64}{3} - 24 - 16 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right|$

$S = \left| \frac{65}{3} - 44 + \frac{3}{2} \right|$

$S = \left| \frac{130 - 264 + 9}{6} \right|$

$S = \left| \frac{-125}{6} \right|$

$S = \frac{125}{6}$

(2)

$y = -x^2 + 2x$ と $x = -1$、$x = 1$、$x$軸（$y = 0$）で囲まれた領域の面積を求めます。

まず、$y = -x^2 + 2x$ と $y = 0$ の交点を求めます。

$-x^2 + 2x = 0$ より $x(-x + 2) = 0$ となるので、$x = 0, 2$ です。

積分範囲は $-1 \leq x \leq 1$ です。

$y = -x^2 + 2x$ は、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲で正の値を取ります。

$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_{-1}^{1}$

$S = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$

$S = -\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} - 1$

$S = -\frac{2}{3}$

面積なので絶対値を取ります。

$S = \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{125}{6}$

(2) $\frac{4}{3}$