次の式を因数分解しなさい。 (1) $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ (2) $x^2 - 8a + 2ax - 16$ (3) $4 - 4y + 2xy - x^2$ (4) $a^2b + a - b - 1$ (5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ (6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

はい、承知いたしました。それでは、問題32の(1)から(6)までのすべての因数分解を解いていきます。

1. 問題の内容

次の式を因数分解しなさい。

(1) $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$

(2) $x^2 - 8a + 2ax - 16$

(3) $4 - 4y + 2xy - x^2$

(4) $a^2b + a - b - 1$

(5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$

(6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$

まず、$x$について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6$

たすき掛けを試みます。

$x^2 + (2y - 5)x + (-6y + 6) = (x+A)(x+B)$とおくと、$A+B=2y-5$、$AB=-6y+6$となる$A,B$を見つける必要があります。

$A=-3, B = 2y-2$とすると、$A+B = 2y -5$, $AB = -6y + 6$となるので、

$(x - 3)(x + 2y - 2)$

(2) $x^2 - 8a + 2ax - 16$

$x$について整理すると、$x^2 + 2ax - 8a - 16$

$x^2 + 2ax - 8(a+2)$

$(x+A)(x+B)$とおくと、$A+B = 2a$, $AB = -8(a+2)$

$A = 4, B = -2$ とおくと、$A+B=2, AB = -8$

$A = 4a+8, B=-2a-4$

$(x + 4)(x -4) +2ax - 8a = (x+4)(x-4) + 2a(x-4)$

$=(x-4)(x+4+2a)$

(3) $4 - 4y + 2xy - x^2$

$=(4 - x^2) + (2xy - 4y)$

$=(2 - x)(2 + x) + 2y(x - 2)$

$=(2 - x)(2 + x) - 2y(2 - x)$

$=(2 - x)(2 + x - 2y)$

(4) $a^2b + a - b - 1$

$b(a^2 - 1) + (a - 1)$

$=b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)$

$=(a - 1)(b(a + 1) + 1)$

$=(a - 1)(ab + b + 1)$

(5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$

$a^2 - 2ab + b^2 - ca + bc$

$=(a - b)^2 - c(a - b)$

$=(a - b)(a - b - c)$

(6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

$=4x^2(y - z) - y^2(y - z)$

$=(y - z)(4x^2 - y^2)$

$=(y - z)(2x - y)(2x + y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)(x + 2y - 2)$

(2) $(x - 4)(x + 2a + 4)$

(3) $(2 - x)(2 + x - 2y)$

(4) $(a - 1)(ab + b + 1)$

(5) $(a - b)(a - b - c)$

(6) $(y - z)(2x - y)(2x + y)$