与えられた連立一次方程式が解を持つための $a, b$ の条件を求める問題です。方程式は次の通りです。 (1) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つための $a, b$ の条件を求める問題です。方程式は次の通りです。

(1)

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

連立一次方程式が解を持つ条件は、拡大係数行列のランクと係数行列のランクが等しいことです。拡大係数行列を作成し、行基本変形を行ってランクを調べます。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 1 & 1 & 1 & b \end{bmatrix}$

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

次に、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 0 & -1 & 1 & 1-2b \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1-2b-a \end{bmatrix}$

この連立一次方程式が解を持つためには、最後の行の最後の要素が0でなければなりません。つまり、

$1-2b-a = 0$

$a+2b = 1$

3. 最終的な答え

連立一次方程式が解を持つための条件は、

$a + 2b = 1$

です。