この問題は、いくつかの行列式の値を計算することと、基本ベクトルに関する内積の値を計算することです。具体的には、2x2行列式、3x3行列式の計算と、基本ベクトル $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ を用いた内積の計算を行います。

1. 問題の内容

この問題は、いくつかの行列式の値を計算することと、基本ベクトルに関する内積の値を計算することです。具体的には、2x2行列式、3x3行列式の計算と、基本ベクトル $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ を用いた内積の計算を行います。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列式の計算:

2x2行列式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ の値は $ad - bc$ で計算できます。

(2) 3x3行列式の計算:

3x3行列式 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$ の値は $a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ で計算できます。

(3) 基本ベクトルの内積:

基本ベクトル $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ は互いに直交する単位ベクトルなので、$\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1$ であり、$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$ です。内積の分配法則を用いて計算します。

それでは、画像の問題を解いていきましょう。

1. (a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (4)(5) = 6 - 20 = -14$

(b) $\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ -6 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (0)(-6) = -5 - 0 = -5$

(c) $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(-4) = -2 + 12 = 10$

(d) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + 0(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = 2(4) - 1(-1) + 0(-2) = 8 + 1 + 0 = 9$

(e) $\begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3(5(-1) - (-3)(0)) - (-4)(1(-1) - (-3)(2)) + 1(1(0) - 5(2)) = 3(-5) + 4(-1 + 6) + 1(0 - 10) = -15 + 4(5) - 10 = -15 + 20 - 10 = -5$

(f) $\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix} = 3(3(6) - 4(-1)) - (-2)(2(6) - 4(6)) + (-5)(2(-1) - 3(6)) = 3(18 + 4) + 2(12 - 24) - 5(-2 - 18) = 3(22) + 2(-12) - 5(-20) = 66 - 24 + 100 = 142$

2. (a) $\vec{j} \cdot \vec{i} = 0$

(b) $\vec{j} \cdot \vec{j} = 1$

(c) $\vec{j} \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j}) = 3(\vec{j} \cdot \vec{i}) - 2(\vec{j} \cdot \vec{j}) = 3(0) - 2(1) = -2$

3. 最終的な答え

1. (a) -14

2. (b) -5

3. (c) 10

4. (d) 9

5. (e) -5

6. (f) 142

7. (a) 0

8. (b) 1

9. (c) -2