$x$ の整式 $A = x^2 + 4x - 5$ と整式 $B$ の最大公約数が $x-1$ であり、最小公倍数が $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ であるとき、$B$ を求める。

## 問題4

1. 問題の内容

$x$ の整式 $A = x^2 + 4x - 5$ と整式 $B$ の最大公約数が $x-1$ であり、最小公倍数が $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ であるとき、$B$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を因数分解します。

$A = x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)$

次に、最大公約数と最小公倍数の関係を利用します。

$A \times B = ($最大公約数$) \times ($最小公倍数$)$

$A \times B = (x - 1)(x^3 + 2x^2 - 13x + 10)$

$A = (x - 1)(x + 5)$ なので、上記の式に代入します。

$(x - 1)(x + 5) \times B = (x - 1)(x^3 + 2x^2 - 13x + 10)$

両辺を $(x - 1)$ で割ります。

$(x + 5) \times B = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$

したがって、$B$ は次のようになります。

$B = \frac{x^3 + 2x^2 - 13x + 10}{x + 5}$

ここで、$x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ を $x + 5$ で割ります。

```

x^2 - 3x + 2

x + 5 | x^3 + 2x^2 - 13x + 10

x^3 + 5x^2

-----------------

-3x^2 - 13x

-3x^2 - 15x

-----------------

2x + 10

2x + 10

-----------------

0

```

したがって、

$x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = (x + 5)(x^2 - 3x + 2)$

$B = \frac{(x + 5)(x^2 - 3x + 2)}{x + 5} = x^2 - 3x + 2$

$B$ を因数分解します。

$B = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

## 問題5

1. 問題の内容

2次と3次の2つの整式があり、それらの最大公約数は $2x-1$ であり、最小公倍数は $2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$ であるとき、この2つの整式を求める。

2. 解き方の手順

2つの整式を $P$ と $Q$ とします。

最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とすると、

$G = 2x - 1$

$L = 2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$

$P$ は2次式、$Q$ は3次式です。

また、$P \times Q = G \times L$ です。

$P \times Q = (2x - 1)(2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4)$

$L$ を $G = 2x - 1$ で割ってみます。

```

x^3 + 2x^2 + 2x + 4

2x - 1 | 2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4

| 2x^4 - x^3

| ----------------------

| 4x^3 + 2x^2

| 4x^3 - 2x^2

| ----------------------

| 4x^2 + 6x

| 4x^2 - 2x

| ----------------------

| 8x - 4

| 8x - 4

| ----------------------

| 0

```

したがって、$2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4 = (2x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 4)$

$P \times Q = (2x - 1)^2(x^3 + 2x^2 + 2x + 4)$

ここで、$x^3 + 2x^2 + 2x + 4$ を因数分解します。

$x^3 + 2x^2 + 2x + 4 = x^2(x + 2) + 2(x + 2) = (x^2 + 2)(x + 2)$

$P \times Q = (2x - 1)^2(x^2 + 2)(x + 2)$

$P$ は2次式なので、$P = (2x - 1)(x+2)$ または $P=(2x-1)(x^2+2)$

$Q$ は3次式なので、$Q = (2x - 1)(x^2 + 2)$ または $Q = (2x - 1)(x+2)$

$P = (2x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$

$Q = (2x - 1)(x^2 + 2) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$P = 2x^2 + 3x - 2$

$Q = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

または

$2x^2 + 3x - 2$ と $2x^3 - x^2 + 4x - 2$