与えられた式 $3x^2 + (7y - 11)x - (6y^2 - 11y + 4)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + (7y - 11)x - (6y^2 - 11y + 4)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ についての二次式であるため、因数分解できると仮定して、$3x^2 + (7y - 11)x - (6y^2 - 11y + 4) = (ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になることを目指します。

まず、$3x^2$ の項から、$a$ と $d$ の積が 3 になる必要があります。可能性としては $(a, d) = (3, 1)$ または $(1, 3)$ などがあります。

次に、定数項 $- (6y^2 - 11y + 4)$ を因数分解することを考えます。$6y^2 - 11y + 4 = (2y - 1)(3y - 4)$ と因数分解できます。したがって、与式は $3x^2 + (7y - 11)x - (2y - 1)(3y - 4)$ と書き換えられます。

$3x^2 + (7y - 11)x - (2y - 1)(3y - 4)$ を $(3x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形に因数分解することを考えます。ここで、

\begin{itemize}

\item $AC = -(2y - 1)$ または $AC = -(3y - 4)$

\item $BD = (2y-1)$ または $BD = (3y-4)$

\end{itemize}

また、$3Cy + Ay = 7y - 11$ が成り立つ必要があります。

試しに $(3x - (2y-1))(x + (3y-4))$ と $(3x - (3y-4))(x + (2y-1))$ の形を考えてみます。

$(3x - (2y-1))(x + (3y-4)) = 3x^2 + (9y - 12)x - (2y-1)x - (2y - 1)(3y - 4) = 3x^2 + (7y - 11)x - (6y^2 - 11y + 4)$ となり、これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解すると、$(3x - 2y + 1)(x + 3y - 4)$ となります。