与えられた2つの式の二重根号を外す問題です。 (1) $\sqrt{8 + \sqrt{48}}$ (2) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式の二重根号を外す問題です。

(1) $\sqrt{8 + \sqrt{48}}$

(2) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{8 + \sqrt{48}}$ について

まず、$\sqrt{48}$ を簡単にします。$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ なので、$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$ となります。

二重根号を外すために、根号の中を $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形にすることを考えます。$8 + 4\sqrt{3} = 8 + 2\sqrt{12}$ なので、$a^2 + b^2 = 8$ かつ $ab = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a^2 + b^2 = 8$ と $ab = 2\sqrt{3}$ より、$a^2 b^2 = 12$。$a^2$ と $b^2$ は $t^2 - 8t + 12 = 0$ の解となります。

$(t-6)(t-2) = 0$ より、$t = 6, 2$。したがって、$a^2 = 6, b^2 = 2$ または $a^2 = 2, b^2 = 6$ となります。

$a>0$, $b>0$ なので、$a = \sqrt{6}, b = \sqrt{2}$ または $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{6}$ となります。

よって、$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ となります。

(2) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$ について

根号の中を $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にすることを考えます。

$\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{21}}{2}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$。

$a^2 + b^2 = 10$ かつ $ab = \sqrt{21}$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a^2 + b^2 = 10$ と $ab = \sqrt{21}$ より、$a^2 b^2 = 21$。$a^2$ と $b^2$ は $t^2 - 10t + 21 = 0$ の解となります。

$(t-7)(t-3) = 0$ より、$t = 7, 3$。したがって、$a^2 = 7, b^2 = 3$ または $a^2 = 3, b^2 = 7$ となります。

$a>0$, $b>0$ なので、$a = \sqrt{7}, b = \sqrt{3}$ または $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{7}$ となります。

$\sqrt{7} > \sqrt{3}$ なので、$a = \sqrt{7}, b = \sqrt{3}$ とすると、

$\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ となります。

よって、$\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$