与えられた2次方程式 $3x^2 - x + (k^2 + 1) = 0$ の解の種類を判別します。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $3x^2 - x + (k^2 + 1) = 0$ の解の種類を判別します。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

判別式 $D$ によって解の種類は以下のように決まります。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

与えられた2次方程式 $3x^2 - x + (k^2 + 1) = 0$ において、$a = 3$, $b = -1$, $c = k^2 + 1$ です。

したがって、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k^2 + 1)$

$D = 1 - 12(k^2 + 1)$

$D = 1 - 12k^2 - 12$

$D = -12k^2 - 11$

$k$ は実数であるため、$k^2 \geq 0$ です。

したがって、$12k^2 \geq 0$ であり、$-12k^2 \leq 0$ です。

よって、

$D = -12k^2 - 11 \leq -11 < 0$

つまり、$D < 0$ となります。

3. 最終的な答え

判別式 $D < 0$ なので、与えられた2次方程式は異なる2つの虚数解を持つ。