与えられた8つの命題について、その真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

1. 問題の内容

与えられた8つの命題について、その真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

2. 解き方の手順

各命題について、真偽を検討し、必要に応じて反例を考える。

(1) 4の倍数は偶数である。

4の倍数は $4n$ （$n$は整数）と表せる。これは $2(2n)$ と書けるので、偶数である。したがって、命題は真である。

(2) 3の倍数は奇数である。

3の倍数は $3n$ （$n$は整数）と表せる。$n=2$ のとき $3n=6$ は偶数である。したがって、命題は偽であり、反例は $6$ 。

(3) 正方形は長方形である。

長方形は向かい合う辺が平行で長さが等しく、すべての内角が直角である四角形である。正方形は、長方形の条件を満たし、さらに4つの辺の長さが等しい四角形である。したがって、命題は真である。

(4) 三角形の内角の和は180°以下である。

三角形の内角の和は常に $180^\circ$ である。したがって、命題は偽である。例えばどんな三角形でも、内角の和は $180^\circ$ であり、$180^\circ$ 以下ではないので反例となる。

(5) $x \in A \cap B$ ならば $x \in A \cup B$ である。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分であり、$A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合である。$A \cap B$ に含まれる要素は、$A$ にも $B$ にも含まれる。したがって、$A \cup B$ にも含まれる。命題は真である。

(6) $x \in A \cup B$ ならば $x \in A \cap B$ である。

$A \cup B$ に含まれる要素は、$A$ に含まれるか、$B$ に含まれるか、またはその両方に含まれる。しかし、$A \cap B$ に含まれるためには、$A$ と $B$ の両方に含まれなければならない。したがって、命題は偽である。反例として、$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$のとき、$A \cup B = \{1,2,3\}$、$A \cap B = \{2\}$。$1 \in A \cup B$ だが、$1 \notin A \cap B$。

(7) $x=1$ ならば $x^2=1$ である。

$x=1$ のとき、$x^2 = 1^2 = 1$ である。したがって、命題は真である。

(8) $x^2=1$ ならば $x=1$ である。

$x^2=1$ を満たす $x$ は $x=1$ または $x=-1$ である。したがって、命題は偽である。反例は $x=-1$。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽、反例：6

(3) 真

(4) 偽、反例：任意の三角形

(5) 真

(6) 偽、反例：$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$のとき、$x=1$

(7) 真

(8) 偽、反例：-1