数列 $\{ \frac{r^{n+1}}{r^n + 1} \}$ の極限を求める問題です。ただし、$r$ の値によって場合分けする必要があります。

1. 問題の内容

数列 $\{ \frac{r^{n+1}}{r^n + 1} \}$ の極限を求める問題です。ただし、$r$ の値によって場合分けする必要があります。

2. 解き方の手順

数列の極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1}}{r^n + 1}$ を、$r$ の値によって場合分けして考えます。

* $r = 1$ のとき:

数列は $\frac{1^{n+1}}{1^n + 1} = \frac{1}{2}$ となるので、極限は $\frac{1}{2}$ です。

* $r > 1$ のとき:

$\frac{r^{n+1}}{r^n + 1} = \frac{r}{1 + \frac{1}{r^n}}$ と変形できます。$n \to \infty$ のとき、$r^n \to \infty$ なので、$\frac{1}{r^n} \to 0$ となります。したがって、極限は $\frac{r}{1 + 0} = r$ です。

* $0 < r < 1$ のとき:

$n \to \infty$ のとき、$r^n \to 0$ なので、$r^{n+1} \to 0$ となります。したがって、極限は $\frac{0}{0 + 1} = 0$ です。

* $r = 0$ のとき:

数列は $\frac{0^{n+1}}{0^n + 1} = \frac{0}{1} = 0$ (ただし、$n \geq 1$）となるので、極限は $0$ です。

* $r < 0$ のとき:

$r = -1$ の場合を考えます。

$\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n + 1}$ は、$n$ が偶数のとき $\frac{-1}{2}$、$n$ が奇数のとき $\frac{1}{0}$（定義されない）となります。したがって、極限は存在しません。

$r < -1$ の場合、$|r| > 1$ なので、$r^n$ は振動しながら絶対値が大きくなります。$\frac{r^{n+1}}{r^n + 1}$ の分母と分子を $r^n$ で割ると$\frac{r}{1 + \frac{1}{r^n}}$となります。$r^n$は振動するため、この式から極限を求めることは難しいです。元の式 $\frac{r^{n+1}}{r^n+1}$ を考えると、分子と分母の絶対値は無限に大きくなるが、符号は交互に変わるので、極限は存在しません。

$-1 < r < 0$ の場合、$n \to \infty$ のとき、$r^n \to 0$ なので、$r^{n+1} \to 0$ となります。したがって、極限は $\frac{0}{0 + 1} = 0$ です。

3. 最終的な答え

* $r > 1$ のとき: $r$

* $r = 1$ のとき: $\frac{1}{2}$

* $0 \leq r < 1$ のとき: $0$

* $r \leq -1$ のとき: 極限は存在しない

* $-1 < r < 0$のとき: $0$