1つのサイコロを2の目が出るまで必要なだけ投げます。最初の1回は2の目が出なかったという条件の下で、5回以上サイコロを投げる必要がある確率を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを2の目が出るまで必要なだけ投げます。最初の1回は2の目が出なかったという条件の下で、5回以上サイコロを投げる必要がある確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、条件付き確率を考えます。事象Aを「初回の目が2でない」、事象Bを「5回以上サイコロを投げる必要がある」とします。求める確率は$P(B|A)$です。

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A)$は、最初の1回で2が出ない確率なので、$P(A) = \frac{5}{6}$です。

$A \cap B$は、「最初の1回で2が出ず、かつ5回以上サイコロを投げる必要がある」という事象です。これは、「最初の1回で2が出ず、かつ4回目までに2が出ていない」という事象と同値です。なぜなら、もし4回目までに2が出ていたら、5回以上投げる必要がないからです。

1回目に2が出ず、2回目にも2が出ず、3回目にも2が出ず、4回目にも2が出ない確率は$(\frac{5}{6})^4$です。

したがって、$P(A \cap B) = (\frac{5}{6})^4$

よって、求める確率は、

$P(B|A) = \frac{(\frac{5}{6})^4}{\frac{5}{6}} = (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{216}$