袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカードが、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$とする。 (1) $a+b=2$となる確率を求める。 (2) $a+b=3$となる確率と、$a+b$の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカードが、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$とする。

(1) $a+b=2$となる確率を求める。

(2) $a+b=3$となる確率と、$a+b$の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a+b=2$となるのは、$a=1$かつ$b=1$のときのみである。

袋Aで1を引く確率は$2/4 = 1/2$である。袋Bで1を引く確率は$1/4$である。

したがって、$a+b=2$となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(2) $a+b=3$となるのは、$a=1$かつ$b=2$のとき、$a=2$かつ$b=1$のときである。

$a=1$となる確率は$1/2$、$b=2$となる確率は$1/4$である。

$a=2$となる確率は$1/2$、$b=1$となる確率は$1/4$である。

したがって、$a+b=3$となる確率は、

$(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$a+b$がとりうる値は、$1+1=2$, $1+2=3$, $1+3=4$, $2+1=3$, $2+2=4$, $2+3=5$である。

それぞれの確率を計算する。

$a+b=2$となる確率は、$1/8$ (上記(1)より)

$a+b=3$となる確率は、$1/4$ (上記(2)より)

$a+b=4$となる確率は、

($a=1$かつ$b=3$) + ($a=2$かつ$b=2$) = $(\frac{1}{2} \times \frac{2}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

$a+b=5$となる確率は、$a=2$かつ$b=3$なので、$\frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

期待値は、

$2 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{3}{8} + 5 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{8} + \frac{6}{8} + \frac{12}{8} + \frac{10}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b=2$となる確率は$\frac{1}{8}$

(2) $a+b=3$となる確率は$\frac{1}{4}$

$a+b$の期待値は$\frac{15}{4}$