大人5人と子供4人の中から3人を選ぶ。 (ア) 3人全員が大人である選び方の総数を求める。 (イ) 選ばれた3人の中に大人も子供も含まれている選び方の総数を求める。

1. 問題の内容

大人5人と子供4人の中から3人を選ぶ。

(ア) 3人全員が大人である選び方の総数を求める。

(イ) 選ばれた3人の中に大人も子供も含まれている選び方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 3人全員が大人である選び方：

5人の大人の中から3人を選ぶ組み合わせの数を求める。組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で表される。ここで $n$ は全体の数、$r$ は選ぶ数である。

大人5人から3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3$ と表され、

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

(イ) 大人も子供も含まれる選び方：

全体から3人を選ぶ選び方の総数から、3人全員が大人である選び方を引けばよい。全体から3人を選ぶ選び方は、9人から3人を選ぶ組み合わせで$_9C_3$と表される。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$通り。

3人全員が子供である選び方：4人の中から3人を選ぶ組み合わせの数を求める。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$通り

3人全員が大人である選び方は10通りだった。

大人も子供も含まれる選び方 = 全体から3人を選ぶ選び方 - 3人全員が大人である選び方 - 3人全員が子供である選び方

$= 84 - 10 - 4 = 70$通り。

もう一つの解き方：

大人も子供も含まれる選び方 = (大人2人、子供1人) + (大人1人、子供2人) + (大人0人、子供3人)

大人2人、子供1人の選び方は、 $_5C_2 \times _4C_1 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 4 = 10 \times 4 = 40$通り

大人1人、子供2人の選び方は、 $_5C_1 \times _4C_2 = 5 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 5 \times 6 = 30$通り

大人0人、子供3人の選び方は、 $_5C_0 \times _4C_3 = 1 \times 4 = 4$通り

これらを足すと40 + 30 + 4 = 74通り

全体から3人を選ぶ選び方の総数から、3人全員が大人である選び方を引けばよい

全体から3人を選ぶ選び方は、9人から3人を選ぶ組み合わせで$_9C_3$と表される。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$通り。

3人全員が大人である選び方は10通りだった。

したがって、84 - 10 = 74通り

3. 最終的な答え

(ア) 10通り

(イ) 74通り