$x^6 - y^6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^6 - y^6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^6 - y^6$ を $(x^2)^3 - (y^2)^3$ と見て、3乗の差の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を適用します。

$x^2 = a$、 $y^2 = b$ とすると、

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

次に、$x^2 - y^2$ を和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使って因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

したがって、$x^6 - y^6 = (x+y)(x-y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

次に、$x^4 + x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

これは $a^2 - b^2$ の形なので、和と差の積で因数分解できます。

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy) = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

したがって、$x^6 - y^6 = (x+y)(x-y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$