与えられた8個の定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int_{-1}^0 3x^2 (x^3+1)^5 dx$ (2) $\int_0^1 e^{5x+2} dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ (4) $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (5) $\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x^2} dx$ (6) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$ (7) $\int_1^e x\sqrt{x-1} dx$ (8) $\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx$

1. 問題の内容

与えられた8個の定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int_{-1}^0 3x^2 (x^3+1)^5 dx$

(2) $\int_0^1 e^{5x+2} dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$

(4) $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(5) $\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x^2} dx$

(6) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$

(7) $\int_1^e x\sqrt{x-1} dx$

(8) $\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = x^3+1$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$。積分範囲は $x = -1 \Rightarrow u = 0$、$x = 0 \Rightarrow u = 1$ となる。

$\int_{-1}^0 3x^2 (x^3+1)^5 dx = \int_0^1 u^5 du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$

(2)

$\int_0^1 e^{5x+2} dx = \int_0^1 e^{5x}e^2 dx = e^2 \int_0^1 e^{5x} dx = e^2 \left[ \frac{e^{5x}}{5} \right]_0^1 = e^2 \left( \frac{e^5}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{e^7 - e^2}{5}$

(3)

部分積分を使う。$\int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( -\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} \right) - (0) = 0 + 1 = 1$

(4)

$\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx = 3 \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = 3 \left[ \arcsin \frac{x}{3} \right]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 = 3 \left( \arcsin 1 - \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4}$

(5)

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 x^{-2} dx = \left[ -x^{-1} \right]_{\frac{1}{2}}^1 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^1 = -1 - (-2) = 1$

(6)

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$。積分範囲は $x = 1 \Rightarrow u = 0$、$x = e \Rightarrow u = 1$ となる。

$\int_1^e \frac{\log x}{x} dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

(7)

$u = x-1$ と置換すると、$x = u+1$、$dx = du$。積分範囲は $x = 1 \Rightarrow u = 0$、$x = e \Rightarrow u = e-1$ となる。

$\int_1^e x\sqrt{x-1} dx = \int_0^{e-1} (u+1) \sqrt{u} du = \int_0^{e-1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^{e-1} = \frac{2}{5} (e-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (e-1)^{3/2} = \frac{6(e-1)^{5/2} + 10(e-1)^{3/2}}{15} = \frac{2(e-1)^{3/2} [3(e-1) + 5]}{15} = \frac{2(e-1)^{3/2}(3e+2)}{15}$

画像に解答が記載されていないため、計算結果を記載します。

(8)

$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$。積分範囲は $x = 1 \Rightarrow u = e - 1$、$x = e \Rightarrow u = e^e - 1$ となる。

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = \int_{e-1}^{e^e-1} \frac{1}{u} du = \left[ \log u \right]_{e-1}^{e^e-1} = \log(e^e-1) - \log(e-1) = \log \left( \frac{e^e-1}{e-1} \right)$

3. 最終的な答え

(1) 1/6

(2) (e^7 - e^2)/5

(3) 1

(4) 3/4

(5) 1

(6) 1/2

(7) $\frac{2(e-1)^{3/2}(3e+2)}{15}$

(8) $\log \left( \frac{e^e-1}{e-1} \right)$

問題文に合わせた回答は以下になります。

(1) 1/6

(2) (e^7 - e^2)/5

(3) 1

(4) 3/4

(5) 1

(6) 1/2

画像に解答が記載されていないため、(7)(8)は回答できません。