問題は次の等比数列の和 $S$ を求める問題です。 (1) 初項 $243$, 公比 $-\frac{1}{3}$, 項数 $5$ の等比数列の和 $S$ を求めます。 (2) 初項 $3$, 公比 $2$, 末項 $384$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は次の等比数列の和 $S$ を求める問題です。

(1) 初項 $243$, 公比 $-\frac{1}{3}$, 項数 $5$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

(2) 初項 $3$, 公比 $2$, 末項 $384$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を使用します。初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S$ は、

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で求められます。

この問題では、$a = 243$, $r = -\frac{1}{3}$, $n = 5$ なので、

$S = \frac{243(1-(-\frac{1}{3})^5)}{1-(-\frac{1}{3})}$

$S = \frac{243(1+\frac{1}{243})}{\frac{4}{3}}$

$S = \frac{243 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$

$S = \frac{244}{\frac{4}{3}}$

$S = 244 \cdot \frac{3}{4}$

$S = 61 \cdot 3$

$S = 183$

(2) 末項 $l$ が与えられているので、$l = ar^{n-1}$ を利用して項数 $n$ を求め、等比数列の和の公式 $S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$を使用します。

$a = 3$, $r = 2$, $l = 384$ なので、$384 = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

$128 = 2^{n-1}$

$2^7 = 2^{n-1}$

$7 = n-1$

$n = 8$

したがって、項数は $8$ です。

等比数列の和の公式に代入して、$S = \frac{3(1-2^8)}{1-2}$ を計算します。

$S = \frac{3(1-256)}{-1}$

$S = \frac{3(-255)}{-1}$

$S = 3 \cdot 255$

$S = 765$

3. 最終的な答え

(1) $183$

(2) $765$