与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求めよ。 $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求めよ。

$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ の階数を求めるには、行列の行基本変形を行い、階段行列に変形します。そして、0でない行の数を数えることで、階数を求めます。

まず、3行目を1行目に足します。

$A' = \begin{bmatrix} 0 & \frac{6}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \end{bmatrix}$

次に、1行目と3行目を入れ替えます。

$A'' = \begin{bmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ 0 & \frac{6}{7} & \frac{1}{7} \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の6倍を引きます。

$A''' = \begin{bmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ 0 & 0 & \frac{7}{7} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

階段行列になったので、0でない行の数を数えます。

1行目、2行目、3行目はすべて0でないので、行列$A$の階数は3です。

3. 最終的な答え

3