サイコロを10回振ったとき、出目の最大値が4であったという条件のもとで、以下の確率を求めます。 (a) 4がちょうど1回出る確率 (b) 4がちょうど2回出る確率 (c) 3がちょうど1回出る確率 (d) 3がちょうど2回出る確率

1. 問題の内容

サイコロを10回振ったとき、出目の最大値が4であったという条件のもとで、以下の確率を求めます。

(a) 4がちょうど1回出る確率

(b) 4がちょうど2回出る確率

(c) 3がちょうど1回出る確率

(d) 3がちょうど2回出る確率

2. 解き方の手順

まず、出目の最大値が4となる確率を計算します。これは、全ての出目が4以下である確率から、全ての出目が3以下である確率を引くことで求められます。

次に、それぞれの確率を計算します。

(a) 4がちょうど1回出る確率

4が1回、残りの9回は1,2,3のいずれかが出ます。このとき、最大値が4になるためには、少なくとも1回は3以下の目が出なければなりません。

4が1回出る場合の数は $_{10}C_1$。残りの9回は1,2,3のいずれかが出るので、3の9乗($3^9$)通り。ただし、全ての目が3以下になる場合を除く必要があります。全ての目が3以下になるのは、9回とも1,2,3のどれかが出る場合で、$3^9$通り。

よって、4が1回だけ出て、残りが全て3以下である場合の数は ${}_{10}C_1 \times (3^9 - 2^9)$ 通り。

全体のパターンは、出目の最大値が4になる場合なので、$4^{10}-3^{10}$通り。

したがって、求める確率は $\frac{{}_{10}C_1 (3^9 - 2^9)}{4^{10} - 3^{10}}$

(b) 4がちょうど2回出る確率

4が2回、残りの8回は1,2,3のいずれかが出ます。このとき、最大値が4になるためには、少なくとも1回は3以下の目が出なければなりません。

4が2回出る場合の数は $_{10}C_2$。残りの8回は1,2,3のいずれかが出るので、$3^8$通り。ただし、全ての目が3以下になる場合を除く必要があります。全ての目が3以下になるのは、8回とも1,2,3のどれかが出る場合で、$2^8$通り。

よって、4が2回だけ出て、残りが全て3以下である場合の数は ${}_{10}C_2 \times (3^8 - 2^8)$ 通り。

全体のパターンは、出目の最大値が4になる場合なので、$4^{10}-3^{10}$通り。

したがって、求める確率は $\frac{{}_{10}C_2 (3^8 - 2^8)}{4^{10} - 3^{10}}$

(c) 3がちょうど1回出る確率

4が9回、3が1回出る組み合わせを考えます。しかし、これは最大値が4であるという条件に反するので、確率0。または、4が少なくとも1回は出ている必要があるため、残りの9回のうち3が1回、それ以外は1,2,4であるということを考える。4が少なくとも1回は出ていて、3が1回だけ出る場合の数を求めます。

残りの8回は1,2のいずれかがでます。

3が1回だけ出て、4が少なくとも1回出ている必要がある。

3が1回出る位置を決めると、残りの9回は1,2,4のいずれかが出ます。

このとき最大値が4でなければならないので、4が少なくとも1回は出ていないといけません。

よって、 ${}_{10}C_1$ x $(3^9-2^9)$

全体のパターンは、$4^{10}-3^{10}$通り。

求める確率は $\frac{{}_{9}C_0 {}_{1}C_1 (3^8-2^8)}{4^{10}-3^{10}}$

(d) 3がちょうど2回出る確率

3が2回出る位置を決めると、残りの8回は1,2,4のいずれかが出ます。

このとき最大値が4でなければならないので、4が少なくとも1回は出ていないといけません。

よって、 ${}_{10}C_2$ x $(3^8-2^8)$

全体のパターンは、$4^{10}-3^{10}$通り。

求める確率は $\frac{{}_{8}C_0 {}_{2}C_2 (3^6-2^6)}{4^{10}-3^{10}}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{{}_{10}C_1 (3^9 - 2^9)}{4^{10} - 3^{10}} = \frac{10(19683-512)}{1048576-59049} = \frac{10 \times 19171}{989527} = \frac{191710}{989527} \approx 0.1937$

(b) $\frac{{}_{10}C_2 (3^8 - 2^8)}{4^{10} - 3^{10}} = \frac{45(6561-256)}{1048576-59049} = \frac{45 \times 6305}{989527} = \frac{283725}{989527} \approx 0.2867$

(c)$\frac{{}_{10}C_1 (3^9 - 2^9)}{4^{10} - 3^{10}} = \frac{0}{4^{10}-3^{10}}=0$

(d)$\frac{{}_{10}C_2 (3^8 - 2^8)}{4^{10} - 3^{10}} = \frac{0}{4^{10}-3^{10}}=0$

(a) $\frac{191710}{989527}$

(b) $\frac{283725}{989527}$

(c) 0

(d) 0