曲線 $y = \sqrt{x}$ 上の点 $(4, 2)$ における接線の傾きを求める問題です。関数 $f(x) = \sqrt{x}$ とおいたとき、微分係数の定義を用いて接線の傾きを計算します。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$ 上の点 $(4, 2)$ における接線の傾きを求める問題です。関数 $f(x) = \sqrt{x}$ とおいたとき、微分係数の定義を用いて接線の傾きを計算します。

2. 解き方の手順

まず、微分係数の定義式を確認します。点 $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ は、次のように定義されます。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、点 $(4, 2)$ における接線の傾きを求めるので、$a = 4$ です。したがって、

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h}$

$f(x) = \sqrt{x}$ であるから、$f(4+h) = \sqrt{4+h}$ 、 $f(4) = \sqrt{4} = 2$ です。よって、

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$

この極限を計算するために、分子を有理化します。

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2}$

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h (\sqrt{4+h} + 2)}$

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h (\sqrt{4+h} + 2)}$

$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2}$

$h \to 0$ のとき、 $\sqrt{4+h} \to \sqrt{4} = 2$ であるから、

$f'(4) = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

したがって、$f'(4) = \frac{1}{4}$ となります。

問題文中の空欄に当てはまるものを埋めると、

ア=4

イ=4

ウ=4

エ=1/4

オ=1/4

3. 最終的な答え

求める接線の傾きは $\frac{1}{4}$ です。

エ: ②

オ: ②