与えられた積分を評価します。 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題のうち、問題(8) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分を評価します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx$

2. 解き方の手順

この積分は複素積分を用いて計算できます。 関数 $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + 4}$ を考え、実軸に沿った線分 $-R$ から $R$ と、半径 $R$ の上半平面の半円 $C_R$ で構成される閉路に沿って積分します。 ここで、$R > 2$ とします。

$z^2 + 4 = 0$ のとき、$z = \pm 2i$ となります。 $z = 2i$ は上半平面にあり、$z = -2i$ は下半平面にあります。 したがって、$f(z)$ は上半平面に極 $z = 2i$ を持ちます。

留数定理により、

$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f(z), 2i)$

ここで、$C$ は閉路 $C_R$ と実軸の線分を合わせたものです。 $z = 2i$ における $f(z)$ の留数は、

$\operatorname{Res}(f(z), 2i) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \frac{e^{iz}}{z^2 + 4} = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \frac{e^{iz}}{(z - 2i)(z + 2i)} = \frac{e^{i(2i)}}{2i + 2i} = \frac{e^{-2}}{4i}$

したがって、

$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \frac{e^{-2}}{4i} = \frac{\pi}{2e^2}$

$\oint_C f(z) dz = \int_{-R}^{R} \frac{e^{ix}}{x^2 + 4} dx + \int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z^2 + 4} dz$

$R \to \infty$ のとき、$\int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z^2 + 4} dz \to 0$ であることが知られています。

したがって、

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 4} dx = \frac{\pi}{2e^2}$

オイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ を用いると、

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x + i \sin x}{x^2 + 4} dx = \frac{\pi}{2e^2}$

実部と虚部を比較すると、

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx = \frac{\pi}{2e^2}$

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2 + 4} dx = 0$

3. 最終的な答え

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx = \frac{\pi}{2e^2}$