不定積分 $\int x(x+1)^{100} dx$ を求める。

問題が多いので、とりあえず番号(3)の問題を解きます。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x(x+1)^{100} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。

$u = x+1$ と置くと、$x = u-1$ となり、$dx = du$ です。

与えられた積分は

$\int (u-1)u^{100} du = \int (u^{101} - u^{100}) du$

$= \int u^{101} du - \int u^{100} du$

$= \frac{u^{102}}{102} - \frac{u^{101}}{101} + C$

ここで、$u = x+1$ を代入すると、

$= \frac{(x+1)^{102}}{102} - \frac{(x+1)^{101}}{101} + C$

$= (x+1)^{101} (\frac{x+1}{102} - \frac{1}{101}) + C$

$= (x+1)^{101} (\frac{101(x+1) - 102}{102 \cdot 101}) + C$

$= (x+1)^{101} (\frac{101x + 101 - 102}{10302}) + C$

$= (x+1)^{101} (\frac{101x - 1}{10302}) + C$

3. 最終的な答え

$\int x(x+1)^{100} dx = \frac{(x+1)^{101}(101x-1)}{10302} + C$