与えられた広義積分 $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^4 + 5x^2 + 4} dx$$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた広義積分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^4 + 5x^2 + 4} dx$$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。分母を因数分解すると、

$$x^4 + 5x^2 + 4 = (x^2 + 1)(x^2 + 4)$$

となります。したがって、

$$\frac{x^2 + x + 1}{x^4 + 5x^2 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4}$$

とおけます。両辺に $(x^2 + 1)(x^2 + 4)$ を掛けると、

$$x^2 + x + 1 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 1)$$

$$x^2 + x + 1 = Ax^3 + 4Ax + Bx^2 + 4B + Cx^3 + Cx + Dx^2 + D$$

$$x^2 + x + 1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (4A+C)x + (4B+D)$$

係数を比較すると、

\begin{align*}

A + C &= 0 \\

B + D &= 1 \\

4A + C &= 1 \\

4B + D &= 1

\end{align*}

この連立方程式を解きます。

最初の式から $C = -A$。3番目の式に代入すると $4A - A = 1$ より $3A = 1$ なので $A = \frac{1}{3}$。すると $C = -\frac{1}{3}$。

2番目の式から $D = 1 - B$。4番目の式に代入すると $4B + (1 - B) = 1$ より $3B = 0$ なので $B = 0$。すると $D = 1$。

したがって、

$$\frac{x^2 + x + 1}{x^4 + 5x^2 + 4} = \frac{\frac{1}{3}x}{x^2 + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + 1}{x^2 + 4}$$

与えられた積分は

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\frac{1}{3}x}{x^2 + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + 1}{x^2 + 4} \right) dx = \frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx - \frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2 + 4} dx + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4} dx$$

被積分関数 $\frac{x}{x^2 + 1}$ と $\frac{x}{x^2 + 4}$ は奇関数なので、積分区間が対称ならば積分値は0です。したがって、

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 4} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 2^2} dx$$

ここで、$x = 2 \tan \theta$ とおくと、$dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$。

積分範囲は $x: -\infty \to \infty$ に対応して $\theta: -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$ となるので、

$$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{4 \tan^2 \theta + 4} 2 \sec^2 \theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2 \sec^2 \theta}{4 \sec^2 \theta} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} d\theta$$

$$I = \frac{1}{2} \left[ \theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \pi = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi}{2}$$