与えられた3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sin(2x) dx$ (2) $\int \cos(1-3x) dx$ (3) $\int \sec^2(\frac{\pi}{2} - x) dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin(2x) dx$

(2) $\int \cos(1-3x) dx$

(3) $\int \sec^2(\frac{\pi}{2} - x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin(2x) dx$

$u = 2x$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$。

よって、

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(u) \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2}(-\cos(u)) + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$

(2) $\int \cos(1-3x) dx$

$u = 1-3x$ と置換すると、$du = -3dx$ より $dx = -\frac{1}{3}du$。

よって、

$\int \cos(1-3x) dx = \int \cos(u) (-\frac{1}{3})du = -\frac{1}{3} \int \cos(u) du = -\frac{1}{3}\sin(u) + C = -\frac{1}{3}\sin(1-3x) + C$

(3) $\int \sec^2(\frac{\pi}{2} - x) dx$

$\tan$ の微分が $\sec^2$ であることを利用します。また、$\frac{\pi}{2} - x = u$ と置換すると、$du = -dx$ より、$dx = -du$。

よって、

$\int \sec^2(\frac{\pi}{2} - x) dx = \int \sec^2(u) (-du) = -\int \sec^2(u) du = -\tan(u) + C = -\tan(\frac{\pi}{2} - x) + C$

ここで、余角の公式より $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$ であるから、

$-\tan(\frac{\pi}{2} - x) + C = -\cot(x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$

(2) $\int \cos(1-3x) dx = -\frac{1}{3}\sin(1-3x) + C$

(3) $\int \sec^2(\frac{\pi}{2} - x) dx = -\cot(x) + C$