曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x+a$ が共有点を持つとき、定数 $a$ の取りうる値の範囲を求める。また、共有点の数が2個であるときの $a$ の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x+a$ が共有点を持つとき、定数 $a$ の取りうる値の範囲を求める。また、共有点の数が2個であるときの $a$ の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの式を連立させ、共有点を持つ条件を考える。

$\sqrt{x+2} = x+a$

両辺を2乗する。

$x+2 = (x+a)^2$

$x+2 = x^2 + 2ax + a^2$

$x^2 + (2a-1)x + a^2 - 2 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件を考える。判別式を $D$ とすると、

$D = (2a-1)^2 - 4(a^2-2) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 8 = -4a + 9$

共有点を持つためには、判別式が0以上である必要がある。

$D \ge 0$

$-4a + 9 \ge 0$

$4a \le 9$

$a \le \frac{9}{4}$

しかし、2乗する前に $x+a \ge 0$、すなわち $x \ge -a$ の条件が必要である。$x^2 + (2a-1)x + a^2 - 2 = 0$ の解を $\alpha$ とすると、$\alpha \ge -a$ である必要がある。

$\alpha = \frac{-(2a-1) \pm \sqrt{-4a+9}}{2}$

$\sqrt{x+2}$の定義域は $x \ge -2$ である。$y=x+a$ が $(-2, 0)$ を通るとき、$a=2$ である。この時、$x=-2$となり、共有点を一つ持つ。

$a>\frac{9}{4}$の時、実数解を持たない。

$x+a \ge 0$ を満たすことが必要なので、 $a=2$ のとき、$x=-2$ となり、$y=0$。共有点は1つ。

$y = \sqrt{x+2}$ と $y = x+a$ が接するときの $a$ の値を考える。これは $D=0$ のときなので、$a=\frac{9}{4}$。このとき、$x = \frac{1-2a}{2} = \frac{1-\frac{9}{2}}{2} = \frac{-\frac{7}{2}}{2} = -\frac{7}{4}$。このとき、$x+a = -\frac{7}{4} + \frac{9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \ge 0$ なので、これは条件を満たす。

$a=2$のとき、共有点は1つ。$a < 2$ のとき、共有点は2つになる。

共有点が2個であるとき、$a < 2$かつ $a \le \frac{9}{4}$。したがって、$a < 2$。

このとき、判別式が正であり、$x \ge -a$を満たす。

3. 最終的な答え

共有点を持つときの $a$ の範囲：$a \le \frac{9}{4}$

共有点が2個であるときの $a$ の範囲：$a < 2$