次の3つの関数について、増減、凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \tanh x$ (2) $y = e^{-\frac{1}{x}}$ (ただし、$x > 0$) (3) $y = 2\arctan x - x$

## 数学の問題

1. **問題の内容**

次の3つの関数について、増減、凹凸を調べ、グラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \tanh x$

(2) $y = e^{-\frac{1}{x}}$ (ただし、$x > 0$)

(3) $y = 2\arctan x - x$

2. **解き方の手順**

**(1) $y = \tanh x$ の場合**

* **増減:**

まず、$\tanh x$ の定義を確認します。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

$\cosh^2 x > 0$ なので、$y' > 0$ となり、常に増加します。

* **凹凸:**

2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx} (1 - \tanh^2 x) = -2 \tanh x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = -2\frac{\sinh x}{\cosh^3 x}$

$x > 0$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)。

$x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)。

$x=0$のとき、$y''=0$

* **漸近線:**

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$

よって、$y = 1$ と $y = -1$ が漸近線です。

**(2) $y = e^{-\frac{1}{x}}$ (ただし、$x > 0$) の場合**

* **増減:**

微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2}$

$x > 0$ において、$e^{-\frac{1}{x}} > 0$ かつ $\frac{1}{x^2} > 0$ なので、$y' > 0$ となり、常に増加します。

* **凹凸:**

2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx} (e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2}) = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^4} - e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{2}{x^3} = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-2x}{x^4}$

$y'' = 0$ となるのは、$1-2x = 0$ のときなので、$x = \frac{1}{2}$。

$0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)。

* **漸近線:**

$\lim_{x \to \infty} e^{-\frac{1}{x}} = e^0 = 1$

$x=0$ に近づくと、$y=e^{-\frac{1}{x}}$ は、$e^{-\infty} = 0$ に近づきます。

よって、$y = 1$ が漸近線です。

**(3) $y = 2\arctan x - x$ の場合**

* **増減:**

微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} (2\arctan x - x) = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$

$y' = 0$ となるのは、$1-x^2 = 0$ のときなので、$x = \pm 1$。

$x < -1$ または $x > 1$ のとき、$y' < 0$ (減少)。

$-1 < x < 1$ のとき、$y' > 0$ (増加)。

* **凹凸:**

2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx} (\frac{1-x^2}{1+x^2}) = \frac{-2x(1+x^2) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$

$x > 0$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)。

$x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)。

* **漸近線:**

特に漸近線はありません。

3. **最終的な答え**

(1) $y = \tanh x$: 単調増加、$(0,0)$ を変曲点とするS字カーブ。$y=1$ と $y=-1$ が漸近線。

(2) $y = e^{-\frac{1}{x}}$ ($x > 0$): 単調増加、$x=1/2$ に変曲点、$y=1$ が漸近線。

(3) $y = 2\arctan x - x$: $x<-1$ と $x>1$ で減少、$-1 < x < 1$ で増加。 $x=0$ に変曲点を持つ。