媒介変数 $t$ ($0 \leq t \leq \sqrt{3}$) で表される曲線 $C$: $$ \begin{cases} x = t - t^2 \\ y = 3t - t^3 \end{cases} $$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ ($0 \leq t \leq \sqrt{3}$) で表される曲線 $C$:

$$$$

\begin{cases}

x = t - t^2 \\

y = 3t - t^3

\end{cases}

$$$$

と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=0$ となる $t$ の値を求める。

$y = 3t - t^3 = t(3 - t^2) = 0$ より、$t=0$ または $t = \pm \sqrt{3}$。

$0 \leq t \leq \sqrt{3}$ より、$t=0, \sqrt{3}$。

$x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ は、

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S = \int_a^b y dx

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で与えられる。ここでは、媒介変数 $t$ で表されているので、

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S = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \frac{dx}{dt} dt

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となる。

$x = t - t^2$ より、$\frac{dx}{dt} = 1 - 2t$。

よって、

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S = \int_{\sqrt{3}}^0 (3t - t^3)(1 - 2t) dt

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積分区間に注意。$t=0$のとき $x=0$、$t=\sqrt{3}$のとき $x = \sqrt{3} - 3 < 0$ なので、積分区間は $t = \sqrt{3}$ から $t = 0$ である。

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S = \int_{\sqrt{3}}^0 (3t - 6t^2 - t^3 + 2t^4) dt

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S = \left[ \frac{3}{2}t^2 - 2t^3 - \frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{5}t^5 \right]_{\sqrt{3}}^0

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S = 0 - \left( \frac{3}{2} (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})^3 - \frac{1}{4} (\sqrt{3})^4 + \frac{2}{5} (\sqrt{3})^5 \right)

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S = - \left( \frac{9}{2} - 6\sqrt{3} - \frac{9}{4} + \frac{18\sqrt{3}}{5} \right)

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S = - \left( \frac{18 - 9}{4} + \frac{-30 + 18}{5} \sqrt{3} \right)

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S = - \left( \frac{9}{4} - \frac{12}{5} \sqrt{3} \right) = - \frac{9}{4} + \frac{12}{5} \sqrt{3}

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面積は正である必要があるので、絶対値を取る。

面積は、

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S = \left| \int_{\sqrt{3}}^0 (3t - t^3)(1 - 2t) dt \right|

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$x=0$になる$t$は$t(1-t)=0$から、$t=0, 1$。$t=1$の時、$y=3-1=2>0$なので、$0\le t \le 1$で$x>0$、$1 \le t \le \sqrt{3}$で、$x<0$になる。

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\int_{0}^{\sqrt{3}} |y \frac{dx}{dt}| dt = \left| \int_{0}^{\sqrt{3}} (3t-t^3)(1-2t) dt \right| = \frac{9}{4}

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$t=0$から$t=\sqrt{3}$まで積分すれば、

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\int_0^{\sqrt{3}}(3t-t^3)(1-2t)dt = \int_0^{\sqrt{3}} (3t-6t^2-t^3+2t^4)dt = \left[ \frac{3}{2}t^2 - 2t^3 - \frac{t^4}{4} + \frac{2t^5}{5}\right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{9}{2}-6\sqrt{3}-\frac{9}{4}+\frac{18\sqrt{3}}{5}=\frac{9}{4}-\frac{12\sqrt{3}}{5}

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よって$S=|\frac{9}{4}-\frac{12\sqrt{3}}{5}|=\frac{12\sqrt{3}}{5}-\frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

$\frac{12\sqrt{3}}{5}-\frac{9}{4}$