(1) $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt$ を求める。 (2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{2} \log t \, dt$ （ただし、$x>0$）を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt$ を求める。

(2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{2} \log t \, dt$ （ただし、$x>0$）を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算せずに、微分の順番に注意してLeibnizの積分公式（積分記号化微分）を使います。

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

ここで、$a(x)=0$, $b(x)=x^2$, $f(t)=\sin t$ とおくと、

$a'(x)=0$, $b'(x)=2x$ となります。したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot 2x - \sin(0) \cdot 0 = 2x\sin(x^2)$.

(2)

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{2} \log t \, dt$ を求めます。

$a(x)=x$, $b(x)=2$, $f(t)=\log t$ とおくと、$a'(x)=1$, $b'(x)=0$ となります。したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{2} \log t \, dt = \log(2) \cdot 0 - \log(x) \cdot 1 = -\log(x)$。

3. 最終的な答え

(1) $2x \sin(x^2)$

(2) $-\log x$