与えられた3つの定積分または不定積分を計算する問題です。 (1) $\int_0^3 \frac{1}{9+x^2} dx$ (2) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ (3) $\int \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分または不定積分を計算する問題です。

(1) $\int_0^3 \frac{1}{9+x^2} dx$

(2) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

積分 $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

この場合、$a^2 = 9$ なので $a=3$ となります。

$\int_0^3 \frac{1}{9+x^2} dx = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) \Big|_0^3 = \frac{1}{3} (\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$

(2)

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

この場合、$a^2 = 4$ なので $a=2$ となります。

$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{2}) \Big|_0^{\sqrt{3}} = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

(3)

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} dx = \frac{1}{a} \arcsin(ax) + C$ を利用します。

この場合、$a^2 = 25$ なので $a=5$ となります。

$\int \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}} dx = \frac{1}{5} \arcsin(5x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{12}$

(2) $\frac{\pi}{3}$

(3) $\frac{1}{5} \arcsin(5x) + C$