与えられた関数 $f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2$ の増減を調べる問題です。導関数 $f'(x)$ を計算し、その符号を調べて増減表を作成し、関数の増加・減少区間を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2$ の増減を調べる問題です。導関数 $f'(x)$ を計算し、その符号を調べて増減表を作成し、関数の増加・減少区間を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2$

$f'(x) = -12x^3 + 12x^2 + 24x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$f'(x) = -12x^3 + 12x^2 + 24x = -12x(x^2 - x - 2) = -12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、 $x = -1, 0, 2$ です。

これらの $x$ の値を基に、増減表を作成します。増減表では、$x < -1, -1 < x < 0, 0 < x < 2, x > 2$ の範囲で $f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減を判断します。

* $x < -1$ のとき、$x = -2$ とすると、$f'(-2) = -12(-2)(-2-2)(-2+1) = -12(-2)(-4)(-1) = -96 < 0$

* $-1 < x < 0$ のとき、$x = -0.5$ とすると、$f'(-0.5) = -12(-0.5)(-0.5-2)(-0.5+1) = -12(-0.5)(-2.5)(0.5) = -7.5 < 0$

* $0 < x < 2$ のとき、$x = 1$ とすると、$f'(1) = -12(1)(1-2)(1+1) = -12(1)(-1)(2) = 24 > 0$

* $x > 2$ のとき、$x = 3$ とすると、$f'(3) = -12(3)(3-2)(3+1) = -12(3)(1)(4) = -144 < 0$

したがって増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :-- | :---- | :-- | :--- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | | 減少 | | 増加 | | 減少 |

増減表から、関数 $f(x)$ は $x \le -1$ のとき減少、$-1 \le x \le 0$ のとき減少、$0 \le x \le 2$ のとき増加、$x \ge 2$ のとき減少します。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は、$0 \le x \le 2$ のとき増加し、$x \le -1$ および $x \ge 2$ のとき減少する。