$\int \frac{x+2}{(x-1)^3} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{x+2}{(x-1)^3} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ と置換します。すると、$x = t+1$ であり、$dx = dt$ となります。

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{t+1+2}{t^3} dt = \int \frac{t+3}{t^3} dt = \int (\frac{t}{t^3} + \frac{3}{t^3}) dt = \int (t^{-2} + 3t^{-3}) dt$

となります。

次に、この積分を計算します。

$\int (t^{-2} + 3t^{-3}) dt = \int t^{-2} dt + 3 \int t^{-3} dt = \frac{t^{-1}}{-1} + 3 \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{t} - \frac{3}{2t^2} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$t = x-1$ を代入して元の変数に戻すと、

$-\frac{1}{x-1} - \frac{3}{2(x-1)^2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x-1} - \frac{3}{2(x-1)^2} + C$

あるいは、整理して

$\frac{-2(x-1) - 3}{2(x-1)^2} + C = \frac{-2x+2-3}{2(x-1)^2} + C = \frac{-2x-1}{2(x-1)^2} + C$

となります。

したがって、最終的な答えは $\frac{-2x-1}{2(x-1)^2} + C$ です。