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問題は、等式 $\int_0^x f(t)dt = 2x^2 - x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めることです。

解析学積分微分積分方程式
2025/5/18

1. 問題の内容

問題は、等式 ∫0xf(t)dt=2x2−x+a\int_0^x f(t)dt = 2x^2 - x + a を満たす関数 f(x)f(x) と定数 aa の値を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を xx で微分します。
積分区間に変数 xx を含む関数の微分に関する基本定理より、ddx∫0xf(t)dt=f(x)\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x) が成り立ちます。
また、右辺の 2x2−x+a2x^2 - x + a を xx で微分すると、4x−14x - 1 になります。
したがって、f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1 となります。
次に、求めた f(x)f(x) を元の等式に代入して、aa の値を求めます。
∫0x(4t−1)dt=2x2−x+a\int_0^x (4t - 1)dt = 2x^2 - x + a
左辺を計算すると、
∫0x(4t−1)dt=[2t2−t]0x=(2x2−x)−(0)=2x2−x\int_0^x (4t - 1)dt = [2t^2 - t]_0^x = (2x^2 - x) - (0) = 2x^2 - x
したがって、2x2−x=2x2−x+a2x^2 - x = 2x^2 - x + a
この式から、a=0a = 0 が得られます。

3. 最終的な答え

f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1
a=0a = 0

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