与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を平方の差の形に変形します。

$64x^6 = (8x^3)^2$であり、$1 = 1^2$であるから、

$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2$

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$を用いると、

$(8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$

次に、それぞれの括弧の中身を因数分解します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$であり、$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3$であるから、それぞれ立方和、立方差の公式を利用できます。

立方和の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$を用いると、

$8x^3 + 1 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

立方差の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$を用いると、

$8x^3 - 1 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、

$64x^6 - 1 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)(2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x-1)(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x+1)$